我认为,如果您先看看GMM模型代表什么,那将会有所帮助。我将使用“ 统计信息工具箱”中的 函数 ,但您应该能够使用VLFeat进行相同的操作。
让我们从两个一维正态分布的混合开始。每个高斯由一对均值和方差表示 。混合物将权重分配给每个组件(先前)。
例如,让我们混合两个具有相同权重的正态分布( p = [0.5; 0.5]
),第一个以0为中心,第二个以5为中心( mu = [0; 5]
),并且方差分别等于1和2第一和第二个分布( sigma = cat(3, 1, 2)
( sigma = cat(3, 1, 2)
)。
如下所示,均值有效地改变了分布,而方差决定了分布的宽/窄和平/尖。先验者设置混合比例以获得最终的组合模型。
% create GMM
mu = [0; 5];
sigma = cat(3, 1, 2);
p = [0.5; 0.5];
gmm = gmdistribution(mu, sigma, p);
% view PDF
ezplot(@(x) pdf(gmm,x));
EM集群的思想是每个分布都代表一个集群。因此,在上面的具有一维数据的示例中,如果给定实例x = 0.5
,则我们将其分配为属于第一个群集/模式的概率为99.5%
>> x = 0.5;
>> posterior(gmm, x)
ans =
0.9950 0.0050 % probability x came from each component
您可以看到实例在第一个钟形曲线下的情况如何。而如果您在中间取一个点,答案将更加模棱两可(分配给class = 2的点,但是不确定性要大得多):
>> x = 2.2
>> posterior(gmm, 2.2)
ans =
0.4717 0.5283
相同的概念扩展到具有多元正态分布的更高维度。在一个以上的维度中, 协方差矩阵是方差的一般化,目的是考虑要素之间的相互依赖性。
这又是一个二维混合两个MVN分布的示例:
% first distribution is centered at (0,0), second at (-1,3)
mu = [0 0; 3 3];
% covariance of first is identity matrix, second diagonal
sigma = cat(3, eye(2), [5 0; 0 1]);
% again I'm using equal priors
p = [0.5; 0.5];
% build GMM
gmm = gmdistribution(mu, sigma, p);
% 2D projection
ezcontourf(@(x,y) pdf(gmm,[x y]));
% view PDF surface
ezsurfc(@(x,y) pdf(gmm,[x y]));
协方差矩阵如何影响关节密度函数的形状背后有一些直觉。例如在2D模式下,如果矩阵是对角线,则表示二维维不可变。在那种情况下,PDF看起来像是一个轴向对齐的椭圆,根据其尺寸具有较大的差异而水平或垂直延伸。如果它们相等,则形状是一个完美的圆(分布在两个维度上的分布速率相等)。最后,如果协方差矩阵是任意的(按定义非对角但仍然对称),则它看起来可能像是一个以一定角度旋转的拉伸椭圆。
因此,在上图中,您应该能够区分两个“凸点”以及每个代表的个体分布。当您使用3D及更高尺寸时,可将其视为代表N维的(超) 椭圆体 。
现在,当您使用GMM执行聚类时 ,目标是找到模型参数(每个分布的均值和协方差以及先验值),以使生成的模型最适合数据。在GMM模型(意味着您选择使Pr(data|model)
最大化的Pr(data|model)
的情况下,最佳拟合估计转化为最大化数据的可能性 。
正如其他人解释的那样,这是使用EM算法迭代解决的; EM从对混合物模型参数的初始估计或猜测开始。根据参数产生的混合密度,迭代地对数据实例重新评分。然后将重新计分的实例用于更新参数估计。重复此过程,直到算法收敛为止。
不幸的是,EM算法对模型的初始化非常敏感,因此,如果设置的初始值很低,甚至陷入局部最优状态,收敛可能会花费很长时间。初始化GMM参数的一种更好的方法是使用K-means作为第一步(如您的代码所示),并使用这些聚类的均值/均值来初始化EM。
与其他聚类分析技术一样,我们首先需要确定要使用的聚类数量 。 交叉验证是一种可靠的方法,可以很好地估计群集数量。
EM群集受以下事实困扰:要适应许多参数,通常需要大量数据和多次迭代才能获得良好的结果。具有M混合物和D维数据的无约束模型涉及拟合D*D*M + D*M + M
参数(M个协方差矩阵,每个大小为DxD,加上M个平均长度为D的向量,以及一个长度为先验的向量M)。对于具有大量维的数据集而言,这可能是个问题。因此,通常施加限制和假设以简化问题(一种避免过度拟合问题的正则化 )。例如,你可以修复的协方差矩阵是唯一的对角,甚至有协方差矩阵共享所有高斯。
最后,一旦拟合了混合模型,就可以通过使用每个混合分量计算数据实例的后验概率来探索聚类(就像我在1D示例中展示的那样)。 GMM根据这种“成员资格”可能性将每个实例分配给一个群集。
这是使用高斯混合模型进行数据聚类的更完整示例:
% load Fisher Iris dataset
load fisheriris
% project it down to 2 dimensions for the sake of visualization
[~,data] = pca(meas,'NumComponents',2);
mn = min(data); mx = max(data);
D = size(data,2); % data dimension
% inital kmeans step used to initialize EM
K = 3; % number of mixtures/clusters
cInd = kmeans(data, K, 'EmptyAction','singleton');
% fit a GMM model
gmm = fitgmdist(data, K, 'Options',statset('MaxIter',1000), ...
'CovType','full', 'SharedCov',false, 'Regularize',0.01, 'Start',cInd);
% means, covariances, and mixing-weights
mu = gmm.mu;
sigma = gmm.Sigma;
p = gmm.PComponents;
% cluster and posterior probablity of each instance
% note that: [~,clustIdx] = max(p,[],2)
[clustInd,~,p] = cluster(gmm, data);
tabulate(clustInd)
% plot data, clustering of the entire domain, and the GMM contours
clrLite = [1 0.6 0.6 ; 0.6 1 0.6 ; 0.6 0.6 1];
clrDark = [0.7 0 0 ; 0 0.7 0 ; 0 0 0.7];
[X,Y] = meshgrid(linspace(mn(1),mx(1),50), linspace(mn(2),mx(2),50));
C = cluster(gmm, [X(:) Y(:)]);
image(X(:), Y(:), reshape(C,size(X))), hold on
gscatter(data(:,1), data(:,2), species, clrDark)
h = ezcontour(@(x,y)pdf(gmm,[x y]), [mn(1) mx(1) mn(2) mx(2)]);
set(h, 'LineColor','k', 'LineStyle',':')
hold off, axis xy, colormap(clrLite)
title('2D data and fitted GMM'), xlabel('PC1'), ylabel('PC2')
0
我正在尝试通过阅读在线资源来了解GMM。我已经使用K-Means实现了聚类,并且正在观察GMM与K-means的比较。
这是我所了解的,如果我的概念有误,请告诉我:
在两种情况下都可以实现聚类的意义上,GMM就像KNN。但是在GMM中,每个聚类都有自己独立的均值和协方差。此外,k均值对群集进行数据点的硬分配,而在GMM中,我们得到了独立的高斯分布的集合,对于每个数据点,我们都有可能属于其中一个分布。
为了更好地理解它,我使用MatLab对其进行编码并实现所需的聚类。我已经使用SIFT功能来进行特征提取。并且已经使用k-means聚类来初始化值。 (来自VLFeat文档)
基于以上所述,我具有
means
,covariances
和priors
。我的主要问题是,现在呢?我现在有点迷路了。同样,
means
,covariances
向量的大小均为128 x 50
。我期望它们是1 x 50
因为每一列都是一个簇,每个簇是否只有一个均值和协方差? (我知道128个是SIFT功能,但我期望均值和协方差)。在k均值中,我使用了MatLab命令
knnsearch(X,Y)
,它基本上为X中的每个Y点找到X中最接近的邻居。因此,如何在GMM中实现这一目标,我知道它是一个概率集合,当然,与该概率最接近的匹配项将是我们的获胜集群。这就是我感到困惑的地方。在线上的所有教程都教导了如何实现
means
,covariances
差值,但是在聚类方面并没有过多地说明如何实际使用它们。谢谢