Question

在斯坦福大学的Andrew Ng在Coursera的机器学习入门演讲的幻灯片中，他给出了鸡尾酒会问题的以下单行八度音阶解决方案，因为音频源是由两个空间分开的麦克风录制的：

[W,s,v]=svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');

幻灯片的底部是“来源：Sam Roweis，Yair Weiss，Eero Simoncelli”，而幻灯片的底部是“音频剪辑由Te-Won Lee提供”。吴教授在影片中说：

“因此，您可能会看这样的无监督学习，并问，'实施此过程有多复杂？”似乎要构建此应用程序，似乎要进行音频处理，您将编写大量代码，或者链接到处理音频的一堆C ++或Java库中。处理音频的复杂程序：分离音频等，结果证明该算法可以完成您刚刚听到的操作，只需一行代码即可完成……如此处所示，这花费了研究人员很长时间因此，我并不是说这是一个简单的问题。但是事实证明，当您使用正确的编程环境时，许多学习算法实际上都是很短的程序。”

在视频讲座中单独播放的音频结果并不完美，但在我看来却是惊人的。有人对那一行代码的性能有何见解？尤其是，没有人知道参考文献来解释Te-Won Lee，Sam Roweis，Yair Weiss和Eero Simoncelli在那一行代码方面的工作吗？

更新

为了证明算法对麦克风分离距离的敏感性，下面的模拟（以八度为单位）将音调与两个空间分离的音调发生器分开。

% define model 
f1 = 1100;              % frequency of tone generator 1; unit: Hz 
f2 = 2900;              % frequency of tone generator 2; unit: Hz 
Ts = 1/(40*max(f1,f2)); % sampling period; unit: s 
dMic = 1;               % distance between microphones centered about origin; unit: m 
dSrc = 10;              % distance between tone generators centered about origin; unit: m 
c = 340.29;             % speed of sound; unit: m / s 

% generate tones
figure(1);
t = [0:Ts:0.025];
tone1 = sin(2*pi*f1*t);
tone2 = sin(2*pi*f2*t);
plot(t,tone1); 
hold on;
plot(t,tone2,'r'); xlabel('time'); ylabel('amplitude'); axis([0 0.005 -1 1]); legend('tone 1', 'tone 2');
hold off;

% mix tones at microphones
% assume inverse square attenuation of sound intensity (i.e., inverse linear attenuation of sound amplitude)
figure(2);
dNear = (dSrc - dMic)/2;
dFar = (dSrc + dMic)/2;
mic1 = 1/dNear*sin(2*pi*f1*(t-dNear/c)) + \
       1/dFar*sin(2*pi*f2*(t-dFar/c));
mic2 = 1/dNear*sin(2*pi*f2*(t-dNear/c)) + \
       1/dFar*sin(2*pi*f1*(t-dFar/c));
plot(t,mic1);
hold on;
plot(t,mic2,'r'); xlabel('time'); ylabel('amplitude'); axis([0 0.005 -1 1]); legend('mic 1', 'mic 2');
hold off;

% use svd to isolate sound sources
figure(3);
x = [mic1' mic2'];
[W,s,v]=svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');
plot(t,v(:,1));
hold on;
maxAmp = max(v(:,1));
plot(t,v(:,2),'r'); xlabel('time'); ylabel('amplitude'); axis([0 0.005 -maxAmp maxAmp]); legend('isolated tone 1', 'isolated tone 2');
hold off;

在我的便携式计算机上执行大约10分钟后，该模拟生成以下三个图形，说明两个隔离的音调具有正确的频率。

但是，将麦克风的分离距离设置为零（即dMic = 0）会使模拟生成以下三个图形，这些图形说明模拟无法隔离第二个音调（由svd矩阵中返回的单个有效对角线项确认）。

图1没有麦克风分离图2没有麦克风分离图3没有麦克风分离

我希望智能手机上的麦克风间距足够大，以产生良好的效果，但是将麦克风间距设置为5.25英寸（即dMic = 0.1333米）会导致模拟产生以下结果，但不令人鼓舞，这些数据说明第一隔离音中的频率分量。

智能手机上的图1 智能手机上的图2 智能手机上的图3